Question

过椭圆C：

x2

4

+

3y2

4

=1上的点A（1，1）作斜率为k与-k（k≠0）的两条直线，分别交椭圆于M，N两点，则直线MN的斜率为

1

3

．

Answer 1

分析：由题意可设直线AM的方程分别为y-1=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立方程

y-1=k(x-1) x2 4 + 3y2 4 =1

整理可得（1+3k²）x²+6k（1-k）x+3（1-k）²-4=0，根据方程的根与系数的关系可求x₁，代入直线方程可，y₁=k（x₁-1）+1可求y₁，同理可求x₂，y₂，代入斜率公式KMN=

y2-y1

x2-x1

可求

解答：解：由题意可设直线AM的方程分别为y-1=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
联立方程

y-1=k(x-1) x2 4 + 3y2 4 =1

整理可得（1+3k²）x²+6k（1-k）x+3（1-k）²-4=0
∴x1+1=

6k(k-1)

1+3k2

x1=

3k2-6k-1

1+3k2

，y₁=k（x₁-1）+1=

(1+k)(1-3k)

1+3k2

同理可得x2=

3k2+6k-1

1+3k2

，y2=

(1-k)(1+3k)

1+3k2

∴KMN=

y2-y1

x2-x1

=

4k 1+3k2

12k 1+3k2

=

1

3

故答案为：

1

3

点评：本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用及直线的斜率公式的考查，属于知识的综合应用．