Question

过椭圆C：

x2

4

+y=1的右焦点作一直线l交椭圆C于M、N两点，且M、N到直线x=

4

3

的距离之和为

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），M，N到直线x=

4

3

的距离分别为d₁，d₂．先看当斜率不存在时，直线L的方程为x=

3

，求得d₁+d₂=

2 3

3

≠

3

，不符合题意；再看当斜率存在时设直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂的表达式，进而根d₁+d₂=

3

求得x₁+x₂的值，进而建立等式求得k，则直线方程可得．

解答：解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线L的方程为x=

3

或y=k（x-

3

），M，N到直线x=

4

3

的距离分别为d₁，d₂．
（1）若直线L的方程为x=

3

，有x₁=x₂=

3

，d₁=d₂=

4

3

-

3

=

3

3

，
d₁+d₂=

2 3

3

≠

3

，不合题设．
（2）若直线L的方程为y=k（x-

3

），有
x²+4k²（x-

3

）²-4=0
整理得：（1+4k²）x²-8

3

k²x+12k²-4=0
x₁+x₂=

8 3 k2

1+4k2

∵d₁=

4

3

-x₁，d₂=

4

3

-x₂，d₁+d₂=

3

∴x₁+x₂=

5

3

∴

8 3 k2

1+4k2

=

5

3

解得：k=±

5

2

∴直线L的方程为：y=±

5

2

（x-

3

）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．对于直线的方程问题，一定要分斜率存在和不存在两种情况讨论．