Question

2．函数y=$\frac{{lg\sqrt{x}}}{{lg（10{x^2}）}}$，x∈（10^-2，10⁴）且x≠$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$的值域为（-∞，$\frac{2}{9}$）∪（$\frac{1}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据对数的运算法则将函数进行化简，结合分式函数的性质，利用换元法将函数进行转化，然后利用函数的单调性和值域之间的关系进行求解即可．

解答 解：y=$\frac{{lg\sqrt{x}}}{{lg（10{x^2}）}}$=$\frac{\frac{1}{2}lgx}{lg10+lg{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{lgx}{1+2lgx}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{lgx}{lgx+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{lgx+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{lgx+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{4}$•（1-$\frac{\frac{1}{2}}{lgx+\frac{1}{2}}$），
设t=lgx，
∵x∈（10^-2，10⁴），
∴t∈（-2，4），
则y=$\frac{1}{4}$•（1-$\frac{\frac{1}{2}}{lgx+\frac{1}{2}}$）=$\frac{1}{4}$•（1-$\frac{\frac{1}{2}}{t+\frac{1}{2}}$），则（-2，-$\frac{1}{2}$）和（-$\frac{1}{2}$，4）上分别单调递增递增，
当t∈（-2，-$\frac{1}{2}$）时，y＞$\frac{1}{4}$•（1-$\frac{\frac{1}{2}}{-2+\frac{1}{2}}$）=$\frac{1}{3}$，
当t∈（-$\frac{1}{2}$，4）时，y＜$\frac{1}{4}$•（1-$\frac{\frac{1}{2}}{4+\frac{1}{2}}$）=$\frac{2}{9}$，
即函数的值域为（-∞，$\frac{2}{9}$）∪（$\frac{1}{3}$，+∞），
故答案为：（-∞，$\frac{2}{9}$）∪（$\frac{1}{3}$，+∞）

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用对数的运算法则以及换元法将函数进行转化是解决本题的关键．考查学生的运算能力．