Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．
（1）当函数f（x）的图象过点（-1，0），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知得a-b+1=0，△=b²-4a=0．由此能求出f（x）=（x+1）²；
（2）因为g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=（x-

k-2

2

）²+1-

(k-2)2

4

．由此能求出k≥6或k≤-2时，g（x）是单调函数．

解答： 解：（1）因为f（-1）=0，所以a-b+1=0．
因为方程f（x）=0有且只有一个根，
所以△=b²-4a=0．
所以b²-4（b-1）=0．
即b=2，a=1．
所以f（x）=（x+1）²；
（2）因为g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx
=x²-（k-2）x+1
=（x-

k-2

2

）²+1-

(k-2)2

4

．
所以当

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤-2时，
即k≥6或k≤-2时，g（x）是单调函数．

点评：本题考查函数的表达式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意二次函数的性质的合理运用．