Question

【题目】已知圆，直线

（1）若直线与圆O交于不同的两点A， B，当时，求k的值.

（2）若k=1，P是直线上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，问：直线CD是否过定点?若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.

（3）若EF、GH为圆的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，求四边形EGFH的面积的最大值

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线过定点；（3）5．

【解析】

（1）当时，为等腰直角三角形，求出点到的距离，然后求解即可；

（2）设，由题意可知：、、、四点共圆且在以为直径的圆上，该圆的方程为，利用、在圆上，求出公共弦所在直线的方程，利用直线系求解即可；

（3）设圆心到直线、的距离分别为，，通过，求出面积表达式，然后求解最值．

解：（1）由题意，圆的圆心为，半径，

有根据题意，当时，为等腰直角三角形，

∴圆心到直线的距离，

∴；

（2）由题意，直线，

设，由题意可知、、、四点共圆且在以为直径的圆上，

其方程为，即，

又、在圆上，

由公共弦所在直线方程的求法可得，

直线的方程为，即，

由得，

直线过定点；

（3）设圆心到直线、的距离分别为，，

则，

，，

，

当且仅当即时，等号成立，

四边形的面积的最大值为5．