Question

【题目】设函数为偶函数.

（1） 求的值；

（2）若的最小值为，求的最大值及此时的取值；

（3）在（2）的条件下，设函数，其中.已知在处取得最小值并且点是其图象的一个对称中心，试求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值为， 此时的取值为；（3）

【解析】

（1）根据 是偶函数，转化为 对一切恒成立求解.

（2）由（1）得到 ， 根据最小值为， 则，得到，然后再求最大值.

（3）由（2）得到，根据在处取最小值，点是其图象的一个对称中心，，由求解.

（1）因为， 是偶函数，

所以 对一切恒成立，

所以.

（2）由（1）知 ，

因为其最小值为，

所以 ，

所以，

当时，取得最大值， 此时；

（3）由（2）知：，

，

，

因为在处取最小值，且点是其图象的一个对称中心,

所以，

所以，，

所以，则，

即，

又因为，

所以，，

当时， ，

，在处取得最大值，不符合题意；

当时，，

， 在取不到最小值，，不符合题意；

当时， ，

， 在处取得最小值，

，的图象关于点中心对称，

所以的最小值为.