Question

【题目】在平面直角坐标系中，，为，轴上两个动点，点在直线上，且满足，.

（1）求点的轨迹方程；

（2）记点的轨迹为曲线，为曲线与正半轴的交点，、为曲线上与不重合的两点，且直线与直线的斜率之积为，求证直线经过一个定点，并求出该定点坐标。

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线过定点

【解析】

（1）设出点P的坐标，分点P在线段上和线段的延长线上两种情况讨论，根据题意得到线段AB的长，列式化简求得点P的轨迹方程；

（2）先明确直线MN的斜率不存在时对应的情况，再求其斜率存在的时候，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用题中的条件，建立等量关系式，求得其过的定点.

（1）设点，当点P在线段AB上时，

根据，，有，此时，

所以有，即；

当点P在线段外时，根据，，

只能点P在线段BA是延长线上，并且点A是线段BP的中点，

设，则有，且有，

所以有；

所以点P的轨迹方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，设：

则，

∴,不合题意.

②当直线的斜率存在时，设：，，

联立方程得

则

，

又

即

将，代入上式得

∴直线过定点.