Question

设数列a_n=1-

1

n

，d_n=

1- an

n

，记S_n为数列{d_n}的前n项和，证明S_n＜2．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列,推理和证明

分析：根据d_n=

1- an

n

，a₁=0，d₁=

1

1

=1，d₁=1，
得出n＞1时，d_n=

1- 1- 1 n

n

=

n - n-1

n

＜

n - n-1

n • n-1

=

1

n-1

-

1

n

，裂项求和问题．

解答： 证明：∵a_n=1-

1

n

，d_n=

1- an

n

，a₁=0，d₁=

1

1

=1
∴d_n=

1- 1- 1 n

n

=

n - n-1

n

＜

n - n-1

n • n-1

=

1

n-1

-

1

n

，n＞1
∴d₁=1，
d₂＜1-

1

2

d₃＜

1

2

-

1

3

，
d₄＜

1

3

-

1

4

，
…
d_n＜

1

n-1

-

1

n

，
相加；S_n＜1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

＜2-

1

n

＜2，
∴S_n＜2

点评：本题考查了数列的裂项方法，放缩法求解数列的和，属于难题，关键是通项公式的求解运算．