题目内容

已知椭圆方程为 $数学公式$ （a＞b＞0），长轴两端点A、B，短轴上端顶点为M，点O为坐标原点，F为椭圆的右焦点，且 $数学公式$ =1，|OF|=1．
（1）求椭圆方程；
（2）直线l交椭圆于P、Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意知c=1，
又 $\text{[math]}$ =1，
∴（a+c）•（a-c）=1=a²-c²，∴a²=2
故椭圆方程为 $\text{[math]}$ ；
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，则
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∵M（0，1），F（1，0），故k_PQ=1，
于是设直线l为y=x+m，与椭圆方程联立，消元可得3x²+4mx+2m²-2=0
∵ $\text{[math]}$ =x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0又y_i=x_i+m（i=1，2）
得x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0
即2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0
由韦达定理得2• $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （m-1）+m²-m=0
解得m=- $\text{[math]}$ 或m=1（舍）
经检验m=- $\text{[math]}$ 符合条件，故直线l方程为 $\text{[math]}$
分析：（1）根据题意可知c，进而根据 $\text{[math]}$ =1求得a，进而利用a和c求得b，故可得椭圆的方程；
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设出P，Q的坐标，利用点M，F的坐标求得直线PQ的斜率，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用 $\text{[math]}$ =0求得m，即可得到直线的方程．．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．