Question

已知椭圆方程为（a＞b＞0），长轴两端点A、B，短轴上端顶点为M，点O为坐标原点，F为椭圆的右焦点，且=1，|OF|=1．
（1）求椭圆方程；
（2）直线l交椭圆于P、Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意知c=1，
又=1，
∴（a+c）（a﹣c）=1=a²﹣c²，∴a²=2
故椭圆方程为；
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，
则设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵M（0，1），F（1，0），故k_PQ=1，
于是设直线l为y=x+m，与椭圆方程联立，消元可得3x²+4mx+2m²﹣2=0
∵=x₁（x₂﹣1）+y₂（y₁﹣1）=0又y_i=x_i+m（i=1，2）
得x₁（x₂﹣1）+（x₂+m）（x₁+m﹣1）=0
即2x₁x₂+（x₁+x₂）（m﹣1）+m²﹣m=0
由韦达定理得2﹣（m﹣1）+m²﹣m=0
解得m=﹣ 或m=1（舍）
经检验m=﹣符合条件，故直线l方程为