Question

给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①f(-

1

2

)=

1

2

；②f（3.4）=-0.4；
③f(-

1

4

)=f(

1

4

)；④y=f（x）的定义域为R，值域是[-

1

2

，

1

2

]；
则其中真命题的序号是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

分析：在理解新定义的基础上，求出{-

1

2

}、{3.4}、{-

1

4

}、{

1

4

}对应的整数，进而利用函数f（x）=|x-{x}|可判断①②③的 
正误；而对于④易知f（x）=|x-{x}|的值域为[0，

1

2

]，则④错误．此时即可作出选择．

解答：解：①∵-1-

1

2

＜-

1

2

≤-1+

1

2

∴{-

1

2

}=-1∴f（-

1

2

）=|-

1

2

-{-

1

2

}|=|-

1

2

+1|=

1

2

∴①正确；
②∵3-

1

2

＜3.4≤3+

1

2

∴{3.4}=3∴f（3.4）=|3.4-{3.4}|=|3.4-3|=0.4∴②错误；
③∵0-

1

2

＜-

1

4

≤0+

1

2

∴{-

1

4

}=0∴f（-

1

4

）=|-

1

4

-0|=

1

4

，
∵0-

1

2

＜

1

4

≤0+

1

2

∴{

1

4

}=0∴f（

1

4

）=|

1

4

-0|=

1

4

，∴③正确；
④y=f（x）的定义域为R，值域是[0，

1

2

]∴④错误．
故选B．

点评：本题主要考查对于新定义的理解与运用，是对学生能力的考查．