Question

（2011•昌平区二模）给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m，在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，最大值是

1

2

；②函数y=f（x）在[0，1]上是增函数；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；④函数y=f（x）的图象的对称中心是（0，0）．
其中正确命题的序号是

①③

．

Answer 1

分析：本题为新定义问题，因为m为整数，故可取m为几个特殊的整数，作出函数的图象，数形结合进行研究．

解答：解：由题意x-{x}=x-m，
f（x）=|x-{x}|=|x-m|，
m=0时，-

1

2

＜x≤

1

2

，f（x）=|x|，

m=1时，1-

1

2

＜x≤1+

1

2

，f（x）=|x-1|，
m=2时，2-

1

2

＜x≤2+

1

2

，f（x）=|x-2|，
由图象可知正确命题为①③，
故答案为：①③．

点评：本题是新定义问题，具有一定难度，容易出错．考查函数的性质，可结合图象进行研究，体现数形结合思想．