Question

给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（-

1

2

，

1

2

]；
②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
③函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（-

1

2

，

3

2

]上是增函数；
则其中真命题是

 

．

Answer 1

分析：根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数的值域；根据f（2k-x）与f（x）的关系，可以判断函数y=f（x）的图象是否关于点（k，0）（k∈Z）对称；再判断f（x+1）=f（x）是否成立，可以判断③的正误；而由①的结论，易判断函数y=f（x）在 （-

1

2

，

3

2

]上的单调性，但要说明④不成立，我们可以举出一个反例．

解答：解：①中，令x=m+a，a∈（-

1

2

，

1

2

]
∴f（x）=x-{x}=a∈（-

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2

，

1

2

]
所以①正确；
②中∵f（2k-x）=（2k-x）-{2k-x}=（-x）-{-x}=f（-x）
∴点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；故②错；
③中，∵f（x+1）=（x+1）-{x+1}=x-{x}=f（x）
所以周期为1，故③正确；
④中，x=-

1

2

时，m=-1，
f（-

1

2

）=

1

2

x=

1

2

时，m=0，
f（

1

2

）=

1

2

所以f（-

1

2

）=f（

1

2

）
所以④错误．
故答案为：①③．

点评：本题考查的知识点是利用函数的三要素、性质判断命题的真假，我们要根据定义中给出的函数，结合求定义域、值域的方法，及对称性、周期性和单调性的证明方法，对4个结论进行验证．