Question

给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（m∈Z），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m；在此基础上有函数f（x）=|x-{x}|（x∈R）．对于函数f（x）给出如下判断：①函数f（x）是偶函数；②函数f（x）是周期函数；③函数f（x）在区间(-

1

2

，

1

2

]上单调递增；④函数f（x）的图象关于直线x=k+

1

2

（k∈Z）对称．则以上判断中正确结论的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①通过判断f（-x）是否等于f（x），来判断函数的奇偶性．②利用周期性的定义，若函数满足f（x+T）=f（x），则函数为周期是T的周期函数．③可举出不成立的情况，说明函数y=f（x）在区间(-

1

2

，

1

2

]上不是单调递增．④利用若函数满足f（a-x）=f（x），则函数对称轴为x=

a-x+x

2

，来判断函数的对称性．

解答：解：∵m-

1

2

＜x≤m+

1

2

(m∈Z)，
∴-m-

1

2

＜-x≤-m+

1

2

(m∈Z)
∴f（-x）=|-x-{-x}|=|-x-（-m）|=|x-m|，f（x）=|x-{x}|=|x-m|
∴f（-x）=f（x）∴①正确
∵m-

1

2

＜x≤m+

1

2

(m∈Z)，∴m+1-

1

2

＜x+1≤m+1+

1

2

(m∈Z)
{x+1}=m+1
∴f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x+1-（m+1）|=|x-m|=f（x）
∴函数f（x）是周期函数，∴②正确．
∵

1

4

∈(-

1

2

，

1

2

]，

1

3

∈(-

1

2

，

1

2

]，且{

1

4

}=0，{

1

3

}=0
不满足区间(-

1

2

，

1

2

]上单调递增，∴③错误
∵m-

1

2

＜x≤m+

1

2

(m∈Z)，∴2k+1-m-

1

2

＜2k+1-x≤2k+1-m+

1

2

(m∈Z)
∴{2k+1-x}=2k+1-m
∴f（2k+1-x）=|2k+1-x-{2k+1-x}|=|2k+1-x-（2k+1-m）|=|x-{x}|=f（x）
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=k+

1

2

(k∈Z)对称
∴④正确．
故判断中正确结论的为①②④，
故选C．

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的定义域、值域、对称性和周期性的求法．解决本题的关键是理解定义及定义中的运算方式，且对所研究的问题有一定的探究意识．本题考查了判断推理的能力