Question

已知数列{a_n}满足：a₁=a＞2，a_n=

an-1+2

（n≥2，n∈N^*）
（1）证明：对n∈N^*，a_n＞2；
（2）判断数列{a_n}的单调性，并说明你的理由；
（3）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：当a=3时，S_n＜2n+

4

3

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用数学归纳法进行证明：对n∈N^*，a_n＞2；
（2）根据函数的单调性的定义进行判断数列{a_n}的单调性即可；
（3）利用放缩法，结合数列的单调性进行证明即可．

解答： 解：（1）先用数学归纳法证明：a_n＞2；
①当n=1时，a₁=a＞2，结论正确；
②假设n=k，（k≥2）时结论成立，即a_k＞2，
则当n=k+1时，a_k+1=

ak+2

＞

2+2

=2，
∴当n=k+1时，结论正确．
故由①、②及数学归纳法原理，对一切的n∈N^*，a_n＞2成立．
（2）数列{a_n}是单调递减的数列．
∵an+12-an2=an+2-an2=-（a_n+1）（a_n-2），
又a_n＞2，
∴an+12-an2＜0，
即a_n+1＜a_n．
这说明数列{a_n}是单调递减的数列．
（3）由a_n=

an-1+2

，得an+12=a_n+2，
∴an+12-4=a_n-2，
根据（1）a_n＞2，
∴

an+1-2

an-2

=

1

an+1+2

＜

1

4

∴a_n+1-2＜

1

4

（a_n-2）＜（

1

4

）²（a_n-1-2）＜（

1

4

）³（a_n-2-2）＜…＜（

1

4

）ⁿ（a₁-2），
∴当a=3时，a_n+1-2＜（

1

4

）ⁿ，
即a_n+1＜2+（

1

4

）ⁿ，．
∴当n=1时，当 时，即．
当 时，S₁=3＜2+

4

3

，
当n≥2时，S_n=3+a₂+a₃+a₄+…+a_n＜3+[2+（

1

4

）]+[2+（

1

4

）²]+[2+（

1

4

）³]+…+[2+（

1

4

）ⁿ]
=3+2（n-1）+

1 4

1- 1 4

[1-(

1

4

)n-1]=2n+1+

1

3

[1-（

1

4

）^n-1]＜2n+

4

3

．

点评：本题主要考查数列与不等式的关系的证明，利用数学归纳法以及放缩法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．