Question

已知：f（x）=x²-x+m（m∈R）且f（log₂a）=m，log₂f（a）=2，a≠1
（1）求：f（log₂x）的最小值及对应的x值；（2）求：不等式f（log₂x）＞f（1）的解．

Answer 1

解：（1）∵f（log₂a）=m，
∴f（log₂a）=log₂²a-log₂a+m=m
∴log₂a=1或log₂a=0，即a=2或a=1（舍）
∵a=2，∴f（a）=f（2）=2+m
∴log₂f（a）=log₂（2+m）=2，
∴m=2
∴f（x）=x²-x+2
∴f（log₂x）=log₂²x-log₂x+2
∴当log₂x=，即x=时，f（log₂x）取最小值
（2）由（1）知：f（log₂x）＞f（1）即为：log₂²x-log₂x+2＞2
则有log₂x＞1或log₂x＜0，
∴x＞2或0＜x＜1
分析：（1）由已知中f（x）=x²-x+m（m∈R）且f（log₂a）=m，log₂f（a）=2，a≠1，我们易求出满足条件的a，m值，进而得到f（log₂x）解析式，结合复合函数、指数函数、二次函数的性质，即可求出f（log₂x）的最小值及对应的x值；
（2）由（1）的中f（log₂x）解析式，我们易将f（log₂x）＞f（1）化为：log₂²x-log₂x+2＞2，解对数不等式，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是函数的最值及其求法，对数函数的单调性与特殊点，对于此类问题，将log₂x看成一个整体，利用二次函数的性质进行解答是关键．