Question

（2012•丰台区一模）已知函数f（x）=x²+x，f'（x）为函数f（x）的导函数．
（Ⅰ）若数列{a_n}满足a_n+1=f'（a_n），且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=b，b_n+1=f（b_n）．
（ⅰ）是否存在实数b，使得数列{b_n}是等差数列？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由；
（ⅱ）若b＞0，求证：

n

i=1

bi

bi+1

＜

1

b

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先对函数求导 f'（x）=2x+1，由a_n+1=f'（a_n），可得a_n+1=2a_n+1，从而可得 a_n+1+1=2（a_n+1），从而可证数列{a_n+1}是等比数列，结合等比数列的通项可求a_n+1，进而可求a_n
（Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数b满足题意，则必有2b₂=b₁+b₃，且b₁=b，b2=f(b1)=b2+b，b3=f(b2)=(b2+b)2+(b2+b)，代入可求b，代入检验即可求解
（ⅱ）由b₁=b＞0，b_n+1=f（b_n），可得b_n+1与b_n的递推公式，利用裂项法可求和，进而可证明

解答：解：（Ⅰ）因为 f（x）=x²+x，所以 f'（x）=2x+1．
所以 a_n+1=2a_n+1，
所以 a_n+1+1=2（a_n+1），且a₁+1=1+1=2，
所以数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以 an+1=2•2n-1=2n，即an=2n-1．                    …（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数b，使数列{b_n}为等差数列，则必有2b₂=b₁+b₃，
且b₁=b，b2=f(b1)=b2+b，b3=f(b2)=(b2+b)2+(b2+b)．
所以 2（b²+b）=（b²+b）²+（b²+b）+b，
解得  b=0或b=-2．
当b=0时，b₁=0，b_n+1=f（b_n）=0，所以数列{b_n}为等差数列；
当b=-2时，b₁=-2，b₂=2，b₃=6，b₄=42，显然不是等差数列．
所以，当b=0时，数列{b_n}为等差数列．                       …（9分）
（ⅱ）b₁=b＞0，b_n+1=f（b_n），则bn+1=f(bn)=bn2+bn；
所以 bn2=bn+1-bn；
所以 

bn

bn+1

=

bn•bn

bn+1•bn

=

bn2

bn+1•bn

=

bn+1-bn

bn+1•bn

=

1

bn

-

1

bn+1

．
因为 bn2=bn+1-bn＞0，
所以 b_n+1＞b_n＞b_n-1＞…＞b₁=b＞0；
所以 

n

i=1

bi

bi+1

=(

1

b1

-

1

b2

)+(

1

b2

-

1

b3

)+…+(

1

bn

-

1

bn+1

)=

1

b

-

1

bn+1

＜

1

b

．
…（13分）

点评：本题主要考查了以函数为载体，考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解通项，数列的裂项求和方法的应用是证明（ii）的关键