Question

已知函数f（x）=x²-alnx，g（x）=x-a

x

．
（1）若a∈R，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在（1，2）上是增函数，g（x）在（0，1）上为减函数，求f（x），g（x）的表达式；
（3）对于（2）中的f（x），g（x），求证：当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯-解．

Answer 1

分析：（1）先求定义域，然后求函数的导数f'（x），利用极值的定义确定函数f（x）的极值．
（2）利用函数f（x）在（1，2）上是增函数，g（x）在（0，1）上为减函数，确定参数a的数值，从而确定函数f（x），g（x）的表达式．
（3）由f（x）=g（x）+2得f（x）-g（x）-2=0，构造函数h（x）=f（x）-g（x）-2，利用导数研究函数h（x）的极值和最值．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′(x)=2x-

a

x

，
①若a≤0，f'（x）＞0横成立，此时函数f（x）单调递增，无极值．
②若a＞0，则由f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

＞0，解得x＞

2a

2

，此时函数f（x）单调递增．
由f′(x)=

2x2-a

x

＜0，解得0＜x＜

2a

2

，此时函数f（x）单调递减．
所以当x=

2a

2

时，函数f（x）取得极小值f(

2a

2

)=

1

2

a(1-ln?a+ln?2)．
综上，若a≤0，函数f（x）无极值．
若a＞0，函数f（x）取得极小值f(

2a

2

)=

1

2

a(1-ln?a+ln?2)．
（2）若函数f（x）在（1，2）上是增函数，则f′(x)=

2x2-a

x

≥0恒成立，
即a≤2x²在（1，2）上恒成立，所以a≤2．
又g′(x)=1-

a

2 x

，要使g（x）在（0，1）上为减函数，
则g′(x)=1-

a

2 x

≤0在（0，1）上恒成立，
即a≥2

x

在（0，1）上恒成立，所以a≥2．
综上a=2．
（3）由f（x）=g（x）+2得f（x）-g（x）-2=0，设h（x）=f（x）-g（x）-2=x2-2lnx-x+2

x

-2，
则h′(x)=2x-

2

x

-1+

1

x

，由h′(x)=2x-

2

x

-1+

1

x

＞0且x＞0，得(

x

-1)(2x

x

+2x+

x

+2)＞0，
解得x＞1，此时函数h（x）单调递增．
由h'（x）＜0，解的0＜x＜1．此时函数h（x）单调递减．
所以函数h（x）在x=1处取得极小值同时也是最小值h（0）=0，
当x＞0时，且x≠1时，h（x）＞0，所以h（x）=0在（0，+∞）上只有一个解，即当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯-解．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值和最值，综合性较强，运算量较大．