Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的长轴的一个端点为A（2，0），离心率为

2

2

．直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点B、D
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在这样的直线，使得△ABD的面积为

10

3

，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

a=2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-4=0，由此利用椭圆弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积结合已知条件能求出直线方程．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的长轴的一个端点为A（2，0），离心率为

2

2

，
∴

a=2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得a=2，c=

2

，b=

2

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-4=0，
△＞0，设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
x1+x2=

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2k2-4

2k2+1

，
A（2，0）到直线y=k（x-1）的距离d=

|2k-k|

k2+1

=

|k|

k2+1

，
∵△ABD的面积为

10

3

，
∴

1

2

×

|k|

k2+1

×

k2+1

×

( 4k2 2k2+1 )2-4× 2k2-4 2k2+1

=

10

3

，
整理，得7k⁴-2k²-5=0，
解得k=±1．
∴直线方程为y=±（x-1）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式和弦长公式的合理运用．