Question

【题目】如图，三棱柱中，侧面为菱形，.

（1）证明：；

（2）若，，，求二面角的余弦值的绝对值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，交于点，连接，证明且平分得到答案.

（2）为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标，计算相应点坐标，计算法向量，利用二面角公式计算得到答案.

证明：（1）连接，交于点，连接，

因为侧面为菱形，

所以，且为与的中点，又，所以平面.

由于平面，故.

又，故.

（2）因为，且为的中点，所以.

又因为，所以，故，从而两两相互垂直，为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标

因为，所以为等边三角形，又，则

设是平面的法向量，则

，即 所以.

设是平面的法向量，则，同理可取,

，所以二面角的余弦值为.