Question

【题目】已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)当时，设的两个极值点为，，证明:.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）证明见解析。

【解析】

（1）利用导函数分子的判别式分情况讨论，即可，注意参数时，函数图像开口也会发生相应的变化。（2）利用对数平均不等式，证明即可。

解：（1），，

对于一元二次方程， ，

①当时，即时，无解或一个解，

有时，，此时 在上单调递增，

②当时，即时，有两个解，

其解为， 当时，，故在 及时，；且时，，即在及上单调递增，在上单调递减，当时，一个实根小于0，一个实根大于0，所以在时，，在，，即在上单调递增，在上单调递减。

综上所述：即时， 在上单调递增；

当时，即在及上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减。

（2）当时，，，又因为的两个极值点为，，则，是方程的两实数根，设。

又因为，故要证，

只需证，

只需证，

只需证，

下面证明不等式，不妨设，要证，即证，即证，令，设，则，所以，函数在上递减，而，因此当 时，恒成立，即成立，即成立，

所以，得证。