Question

【题目】设椭圆： 的左、右焦点分别为，上顶点为，过与垂直的直线交轴负半轴于点，且恰好是线段的中点．

（1）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；

（2）在（1）的条件下， 是椭圆的左顶点，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于两点，若直线的斜率分别为，试问： 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）为定值，且定值为.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程求解；（2）运用直线与椭圆的位置关系进行分析推证：

解析：（1）由题意知： ， 是线段的中点，设， ，则，因为，

所以.

由题意知： 外接圆的圆心为斜边的中点，半径等于.

因为过三点的圆恰好与直线相切，所以到直线的距离等于半径，即，解得， ， ，

所以，椭圆的方程为.

（2）设，直线的方程为，由消去得：

，

所以， ，

由三点共线可知： ，即，

同理可得： ，所以，

因为，

所以，故为定值，且定值为