题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且| BE |
| EC |
（1）求证：平面ADE⊥平面PBC；
（2）是否存在实数λ，使得二面角P-DE-B的余弦值为
| 2 |
| 3 |
考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）取PB中点N，连结MN、AN，由已知得四边形ADMN为平行四边形，由AP⊥AD，AB⊥AD，得AD⊥平面PAB，从而AN⊥MN，由AP=AB，得AN⊥PB，由此能证明平面ADM⊥平面PBC．
（2）以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，求出平面PDE的法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出λ=3或λ=
．
（2）以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，求出平面PDE的法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出λ=3或λ=
| 1 |
| 3 |
解答：
（本小题满分12分）
解：（1）取PB中点N，连结MN、AN，
∵M是PC中点，∴MN∥BC，MN=
BC=2，
又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，
∴四边形ADMN为平行四边形，
∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，∵AP=AB，∴AN⊥PB，
∴AN⊥平面PBC，
∵AN?平面ADM，∴平面ADM⊥平面PBC．（6分）
（2）存在符合条件的λ．
以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz，
设E（2，t，0），P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0）
从而
=(0，2，-2)，
=(2，t-2，0)，
则平面PDE的法向量为
=(2-t，2，2)，
又平面DEB即为xAy平面，其法向量
=(0，0，1)，
则cos＜
，
＞=
=
=
，
解得t=3或t=1，进而λ=3或λ=
．（12分）
解：（1）取PB中点N，连结MN、AN，
∵M是PC中点，∴MN∥BC，MN=
| 1 |
| 2 |
又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，
∴四边形ADMN为平行四边形，
∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，∵AP=AB，∴AN⊥PB，
∴AN⊥平面PBC，
∵AN?平面ADM，∴平面ADM⊥平面PBC．（6分）
（2）存在符合条件的λ．
以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz，
设E（2，t，0），P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0）
从而
| PD |
| DE |
则平面PDE的法向量为
| n1 |
又平面DEB即为xAy平面，其法向量
| n2 |
则cos＜
| n1 |
| n2 |
| ||||
|
|
| 2 | ||
|
| 2 |
| 3 |
解得t=3或t=1，进而λ=3或λ=
| 1 |
| 3 |
点评：本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．
练习册系列答案
阳光课堂课时作业系列答案
相关题目
如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图 中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是
如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB=60°，E是棱CB的延长线上一点，经过点A、C1、E的平面交棱BB1于点F，B1F=2BF．
从某校高一期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图，如图所示．根据频率分布直方图，估计该次数学考试的平均分为（ ）| A、46 | B、82 | C、92 | D、102 |
为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了m名学生进行体育测试．根据体育测试得到了这m名学生各项平均成绩（满分100分），按照以下区间分为七组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），并得到频率分布直方图（如图），己知测试平均成绩在区间[30，60）有20人．