Question

【题目】设函数，其中.

（1）当时，的零点个数；

（2）若的整数解有且唯一，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）只有一个零点（2）

【解析】

（1）求导，根据导数求函数的单调性，结合极值即可判断；（2）易发现，再分和根据导数与函数单调性的关系讨论题设成立时的取值范围，求交集即可.

解：（1），当时，，函数单增，

且时函数值都已经大于0了；当时，，函数单减，

且，所以只有一个零点

（2）观察发现，下证除整数0外再无其他整数 ，

①当时，，根据同向不等式乘法得到，因为，

所以，所以函数单增，且趋于时函数值显然很大很大；

但要保证只有唯一整数0，需要，却发现恒成立，

②当时，要保证只有唯一整数0，首先需要，得到

当时，，根据同向不等式得到，又因，

所以，所以函数在单减，且

综上所述：的整数解有且唯一时，