Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若直线是曲线的切线，求实数的值；

（3）设在区间上的最小值.（其中e为自然对数的底数）

 

Answer 1

（1）的单调递减区间是和，单调递增区间是；（2）；（3）当时，最小值为；当时，的最小值=；当时，最小值为.

【解析】

试题分析：（1）先求出导函数，分别令导函数大于0即可求出增区间，导数小于0即可求出减区间；

（2）首先设出切点坐标，然后直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点可得方程组，解之即可求实数的值；

（3）先求出的导函数，分三种情况讨论函数在区间上的单调性，即当，即时， 在区间上为增函数，所以最小值为；当，即时，在区间上为减函数，所以最小值为；当，即时，最小值=.进而求得其在区间上的最小值.

试题解析：（1），（），在区间和上，；在区间上，.所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是.

（2）设切点坐标为，则 ,解得，.

（3），则，令，解得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数.

当，即时，在区间上，为递增函数，所以最小值为.

当，即时，在区间上，为递减函数，所以最小值为.

当，即时，最小值=.

综上所述，当时，最小值为；当时，的最小值=；当时，最小值为.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上的最值.