Question

已知大于1的正数x，y，z满足x+y+z=3

3

．
（1）求证：

x2

x+2y+3z

+

y2

y+2z+3x

+

z2

z+2x+3y

≥

3

2

．
（2）求

1

log3x+log3y

+

1

log3y+log3z

+

1

log3z+log3x

的最小值．

Answer 1

分析：（1）可以将不等式左边乘以）[（x+2y+3z）+（y+2z+3x）+（z+2x+3y）]然后利用柯西不等式进行放缩求解；
（2）根据对数函数的性质，然后再利用柯西不等式进行放缩，注意不等式取等号的条件进行证明；

解答：解：（1）由柯西不等式得，
（

x2

x+2y+3z

+

y2

y+2z+3z

+

z2

z+2x+3y

）[（x+2y+3z）+（y+2z+3x）+（z+2x+3y）]≥（x+y+z）²=27
得：

x2

x+2y+3z

+

y2

y+2z+3x

+

z2

z+2x+3y

≥

3

2

；
（2）∵

1

log3x+log3y

+

1

log3y+log3z

+

1

log3z+log3x

=

1

log3(xy)

+

1

log3(yz)

+

1

log3(zx)

，
由柯西不等式得：（

1

log3(xy)

+

1

log3(yz)

+

1

log3(zx)

）（log₃（xy）+log₃（yz）+log₃（zx）），
由柯西不等式得：（

1

log3(xy)

+

1

log3(yz)

+

1

log3(zx)

）（log₃（xy）+log₃（yz）+log₃（zx））≥9
所以，(

1

log3(xy)

+

1

log3(yz)

+

1

log3(zx)

)≥

9

(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))

=

9

2log3(xyz)

，
又∵3

3

=x+y+z≥3

3	xyz

．
∴xyz≤3

3

．
∴log3xyz≤

3

2

．得

9

2log3xyz

≥

9

2

×

2

3

=3
所以，

1

log3x+log3y

+

1

log3y+log3z

+

1

log3z+log3x

≥3当且仅当x=y=z=

3

时，等号成立．
故所求的最小值是3．

点评：此题主要考查柯西不等式的应用，充分利用好条件x+y+z=3

3

，进行拆分，是解题的关键，此题是一道中档题；