Question

已知大于1的正数x，y，z满足．
（1）求证：．
（2）求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可以将不等式左边乘以）[（x+2y+3z）+（y+2z+3x）+（z+2x+3y）]然后利用柯西不等式进行放缩求解；
（2）根据对数函数的性质，然后再利用柯西不等式进行放缩，注意不等式取等号的条件进行证明；
解答：解：（1）由柯西不等式得，
（）[（x+2y+3z）+（y+2z+3x）+（z+2x+3y）]≥（x+y+z）²=27
得：；
（2）∵=++，
由柯西不等式得：（++）（log₃（xy）+log₃（yz）+log₃（zx）），
由柯西不等式得：（++）（log₃（xy）+log₃（yz）+log₃（zx））≥9
所以，，
．
∴．
∴．得
所以，当且仅当时，等号成立．
故所求的最小值是3．
点评：此题主要考查柯西不等式的应用，充分利用好条件，进行拆分，是解题的关键，此题是一道中档题；