Question

【题目】如图，四棱锥的底面是菱形，，是中点，，，平面平面.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）设，则，由余弦定理可知，再根据勾股定理可证，由题意易知，又平面平面 ，再根据面面垂直的性质定理即可证明结果；

（2）根据题意建立空间直角坐标系，再利用空间向量的坐标运算公式求出二面角的余弦值.

（1）证明：设，则，

由题意得，

，，

是菱形，

∵平面平面 ，平面平面，

∴平面

（2）由（1）得，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，设，则

设是平面的一个法向量，

则 ，∴

令，则，

设是平面的一个法向量，

则，∴，

令，则，

∴

又二面角为钝二面角，

∴二面角的余弦值.