Question

6．已知函数是R上的奇函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}$-$\frac{a}{{e}^{x}}$．（a＞0）
（1）求a的值：
（2）证明函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=0，解出即可；
（2）先求出f（x）的表达式，利用定义证明即可；

解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，即$\frac{{e}^{0}}{a}$-$\frac{a}{{e}^{0}}$=0，
解得a=1，a=-1（舍）．
（2）∵a=1，∴f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$，
设0≤x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=${e}^{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}}$-${e}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$=${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$-$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}}$=（=${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$）=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）•$\frac{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}-1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$，
∵0＜x₁＜x₂，
∴1＜e^x₁＜e^x₂，则e^x₁-e^x₂＜0，e^x₁e^x₂＞1，
则f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．

点评 本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性的证明，利用定义法是解决本题的关键．