Question

【题目】如图，在直三棱柱中，底面为等边三角形， .

（Ⅰ）求三棱锥的体积；

（Ⅱ）在线段上寻找一点，使得，请说明作法和理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析：（1）取BC中点E连结AE，三棱锥C1﹣CB1A的体积，由此能求出结果．（2）在矩形BB1C1C中，连结EC1，推导出Rt△C1CE∽Rt△CBF，从而CF⊥EC1，再求出AE⊥CF，由此得到在BB1上取F，使得，连结CF，CF即为所求直线．

解析：（1）取中点连结.在等边三角形中， ，

又∵在直三棱柱中，侧面面，

面面，∴面，

∴为三棱锥的高，又∵，∴，

又∵底面为直角三角形，∴，

∴三棱锥的体积

（2）作法：在上取，使得，连结， 即为所求直线.

证明：如图，在矩形中，连结，

∵， ，∴，

∴，∴，

又∵，∴，∴，

又∵面，而面，∴，

又∵，∴面，

又∵面，∴.