Question

已知曲线C：y=

1

3

x3-x2-4x+1，直线l：x+y+2k-1=0，当x∈[-3，3]时，直线l 恒在曲线C的上方，则实数k的取值范围是（　　）

A．k＞- 5 6

B．k＜- 5 6

C．K＜ 3 4

D．K＞ 3 4

Answer 1

命题等价于x在（-3，3）内，
（-x-2k+1）-（

1

3

x3-x2-4x+1）＞0恒成立
即k＜-

1

6

x3+

1

2

x2+

3

2

x，
设y=-

1

6

x3+

1

2

x2+

3

2

x，
y'=-

1

2

x2+x+

3

2

=

1

2

（3-x）（1+x）
所以函数y=-

1

6

x3+

1

2

x2+

3

2

x，
在[-3，-1）内y递减，（-1，3]内递增
所以x=-1，y取最小值-

5

6

所以k＜-

5

6

故选B．