题目内容

如图，已知曲线C：y=
1
x
，Cn：y=
1
x+2-n
（n∈N*）．从C上的点Qn（xn，yn）作x轴的垂线，交Cn于点Pn，再过点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn+1（xn+1，yn+1）设，x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn -yn+1．
（1）求点Q1、Q2的坐标；
（2）求数列{an} 的通项公式；
（3）记数列{an•yn+1} 的前n项和为Sn，求证sn＜
1
3
．
分析：（1）由Qn（xn，yn），Qn+1（xn+1，yn+1），知点Pn的坐标为（xn，yn+1），由此能求出点Q1、Q2的坐标．
（2）由Qn，Qn+1在曲线C上，知yn=
1
xn
，yn+1=
1
xn+1
，由Pn在曲线Cn上，知yn+1=
1
xn+2-n
，由此能求出数列{an} 的通项公式．
（3）由xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x2-x1）+x1=2-（n-1）+2-（n-2）+…+2-1+1=1-
1-(
1
2
)n
1-
1
2
=2-21-n，知an•bn=（xn+1-xn）•（yn-yn+1）=2-n(
1
xn
-
1
xn+1
)=
1
2n
(
1
2-21-n
-
1
2-2-n
)=
1
(2•2n-2)• (2•2n-1)
，由此入手能够证明sn＜
1
3
．
解答：解：（1）∵Qn（xn，yn），Qn+1（xn+1，yn+1），
∴点Pn的坐标为（xn，yn+1）
∴Q1(1，1)，P(1，
2
3
) ，Q2(
3
2
，
2
3
)．-----------------------------------（2分）
（2）∵Qn，Qn+1在曲线C上，
∴yn=
1
xn
，yn+1=
1
xn+1
，
又∵Pn在曲线Cn上，
∴yn+1=
1
xn+2-n
，--------------------------------（4分）
∴xn+1=xn+2-n，
∴an=2-n．-----------------------------------------（6分）
（3）xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x2-x1）+x1
=2-（n-1）+2-（n-2）+…+2-1+1
=1-
1-(
1
2
)n
1-
1
2

=2-21-n．-------------------（9分）
∴an•bn=（xn+1-xn）•（yn-yn+1）
=2-n(
1
xn
-
1
xn+1
)
=
1
2n
(
1
2-21-n
-
1
2-2-n
)
=
1
(2•2n-2)• (2•2n-1)
，
∵2•2n-2≥2n，2•2n-1≥3，
∴an•bn≤
1
3•2n
．--------------------------------（12分）
∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn
≤
1
3×2
+
1
3×22
+…+
1
3×2n
=
1
6
•
1-(
1
2
)n
1-
1
2
=
1
3
(1-
1
2n
)＜
1
3
-----------------------（14分）
点评：本题考查点坐标的求法、求数列的通项公式、求证sn＜
1
3
．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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1
x
，Cn：y=
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n
i=1
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.
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x
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（Ⅰ） 求a2与an；
（Ⅱ） 求Sn，并证明Sn＜
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