Question

（2012•河西区二模）已知曲线C：y=x²（x＞0），过C上的点A₁（1，1）作曲线C的切线l₁交x轴于点B₁，再过点B₁作y轴的平行线交曲线C于点A₂，再过点A₂作曲线C的切线l₂交x轴于点B₂，再过点B₂作y轴的平行线交曲线C于点A₃，…，依次作下去，记点A_n的横坐标为a_n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：a_nS_n≤1；
（3）求证：

n

i=1

1

aiSi

≤

4n-1

3

．

Answer 1

分析：（1）由y'=2x（x＞0）．知切线l_n的方程为y-a_n²=2a_n（x-a_n）．所以B_n（

an

2

，0）．依题意点A_n+1在直线x=

an

2

上，所以数列{a_n}是1为首项，

1

2

为公比的等比数列．由此能求出数列{a_n}的通项公式
（2）由（I）求出S_n的表达式，进而得到a_nS_n的表达式，令t=

1

2n

，结合二次函数的性质，可得a_nS_n≤1；
（3）S_n≥a_n，（n∈N*），可得a_nS_n≥a_nS²，进而

1

anSn

≤

1

a 2 n

，利用放缩法，可得答案．

解答：解：（1）解（I）∵y'=2x（x＞0）．
∴曲线C在点A_n（a_n，a_n²）处的切线l_n的斜率为k_n=2a_n．
∴切线l_n的方程为y-a_n²=2a_n（x-a_n）．（2分）
令y₀=0得：x=

an

2

，
∴B_n（

an

2

，0）．
依题意点A_n+1在直线x=

an

2

上，
∴a_n+1=

an

2

（n∈N*），又a₁=1．（4分）
∴数列{a_n}是1为首项，

1

2

为公比的等比数列．
∴an=

1

2n-1

．（5分）
（2）∵S_n=

1- 1 2n

1- 1 2

=2（1-

1

2n

）
∴a_nS_n=4×

1

2n

（1-

1

2n

）
令t=

1

2n

，则0＜t≤

1

2

∴a_nS_n=4t（1-t）=-4（t-

1

2

）²+1
∴当t=

1

2

时，即n=1时，a_nS_n取最大值1
即a_nS_n≤1（9分）
（3）∵S_n≥a_n，（n∈N*），
∴a_nS_n≥a_nS²，
即

1

anSn

≤

1

a 2 n

（11分）
∵{

1

a 2 n

}是首项为1，公比为4的等比数列
∴

n

i=1

1

aiSi

≤

n

i=1

1

ai2

=

1-4n

1-4

=

4n-1

3

（14分）

点评：本题考查的知识点是数列的通项公式，前n项和公式，二次函数的性质，数列一不等式的综合应用，是数列与其它模块综合题型，难度较大．