Question

如图，已知曲线C：y=x²（0≤x≤1），O（0，0），Q（1，0），R（1，1）．取线段OQ的中点A₁，过A₁作x轴的垂线交曲线C于P₁，过P₁作y轴的垂线交RQ于B₁，记a₁为矩形A₁P₁B₁Q的面积．分别取线段OA₁，P₁B₁的中点A₂，A₃，过A₂，A₃分别作x轴的垂线交曲线C于P₂，P₃，过P₂，P₃分别作y 轴的垂线交A₁P₁，RB₁于B₂，B₃，记a₂为两个矩形A₂P₂B₂A₁与矩形A₃P₃B₃B₁的面积之和．以此类推，记a_n为2^n-1个矩形面积之和，从而得数列{a_n}，设这个数列的前n项和为S_n．
（Ⅰ） 求a₂与a_n；
（Ⅱ） 求S_n，并证明S_n＜

1

3

．

Answer 1

分析：（I） 由题意知P₁（

1

2

，(

1

2

)2），由此能求出a₂，再利用裂项求和法和分组求和法能注出a_n．
（Ⅱ） 由（I）知a_n=

1

2n+1

-

1

22n+1

，求出S_n，对任意的n∈N^*，有3×2ⁿ-1＞0，由此能证明S_n＜

1

3

．

解答：解：（I） 由题意知P₁（

1

2

，(

1

2

)2），
∴a₁=

1

2

×(

1

2

)2=

1

8

．
又∵P₂（

1

22

，(

1

22

)2），P₃（

3

22

，(

3

22

)2），
∴a₂=

1

22

×[(

1

22

)2+(

3

22

)2-(

2

22

)2]=

1

26

×（1²+3²-2²）=

3

32

．
由题意，对任意的k=1，2，3，…，n，
有P2k-1+i（

2i+1

2k

，(

2i+1

2k

)2），i=0，1，2，…，2^k-1-1，
∴a_n=

1

2n

×[(

1

2n

)2+(

3

2n

)2-(

2

2n

)2+(

5

2n

)2-(

4

2n

)2+…+(

2n-1

2n

)2-(

2n-2

2n

)2]
=

1

23n

×[1²+3²-2²+5²-4²+…+（2ⁿ-1）²-（2ⁿ-2）²]
=

1

23n

×{1+（4×1+1）+（4×2+1）+…+[4×（2^n-1-1）+1]}
=

1

23n

×

[1+4×(2n-1-1)+1]×2n-1

2

=

2n-1

22n+1

．
∴a₂=

3

32

，a_n=

2n-1

22n+1

，n∈N^*．
（Ⅱ） 由（I）知a_n=

1

2n+1

-

1

22n+1

，n∈N*，
∴S_n=

1 4 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

1 8 ×(1- 1 4n )

1- 1 4

=

1

2

×(1-

1

2n

)-

1

6

×(1-

1

4n

)
=

22n+1-3×2n+1

3×22n+1

．
又对任意的n∈N^*，有3×2ⁿ-1＞0，
∴S_n=

1

3

-

3×2n-1

3×22n+1

＜

1

3

．

点评：本题主要考查等比数列的概念与求和公式、不等式等基础知识，同时考查运算求解能力．