Question

平面上两点A(－1，0)，B(1，0)，在圆C：(x－3)²＋(y－4)²＝4上取一点P，求使|AP|²＋|BP|²取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：设P点坐标为(x，y)．

　　∵A(－1，0)，B(1，0)，∴|AP|²＋|BP|²＝(x＋1)²＋y²＋(x－1)²＋y²＝29(x²＋y²)＋2＝2|OP|²＋2．

要使|AP|²＋|BP|²取得最小值，需使|OP|²取得最小．

　　又点P为圆(x－3)²＋(y－4)²＝4上的点，∴(|OP|)_min＝|OC|－r(r为半径)．

　　由(x－3)²＋(y－4)²＝4知C(3，4)，r＝2．

　　∴|OC|－r＝－2＝5－2＝3，即(|OP|)_min＝3，

　　∴(|AP|²＋|BP|²)_min＝2×3²＋2＝20．此时OC：y＝x．

　　由(舍)

　　∴点P的坐标为()．

　　深化升华：设出P点的坐标P(x，y)，使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合求最值．

提示：

应用平面的两点间的距离公式将|AP|²＋|BP|²转化为关于x，y的二次式，再求出其最值．