Question

平面上两点A(－1，0)、B(1，0)，在圆C：(x－3)²＋(y－4)²=4上取一点P，求使|AP|²＋|BP|²取得最小值时点P的坐标.

Answer 1

解法一:∵点P在圆C：(x－3)²＋(y－4)²=4上,

∴可设P点的坐标为(3＋2cosθ，4＋2sinθ).

又A(－1，0)、B(1，0),

∴|AP|²＋|BP|²=(3＋2cosθ＋1)²＋(4＋2sinθ)²＋(3＋2cosθ－1)²＋(4＋2sinθ)²=60＋32sinθ＋24cosθ=60＋40sin(θ＋)(其中tan=).

当sin(θ＋)=－1时,(|AP|²＋|BP|²)_min=20,

此时60＋24cosθ＋32sinθ=20，即3cosθ＋4sinθ=－5.

由得

∴P点的坐标为(，).

解法二:设P点的坐标为(x，y).

∵A(－1，0)、B(1，0),

∴|AP|²＋|BP|²=(x＋1)²＋y²＋(x－1)²＋y²=2(x²＋y²)＋2=2|OP|²＋2.

要使|AP|²＋|BP|²取得最小值，需使|OP|²最小.

又点P为圆C：(x－3)²＋(y－4)²=4上的点，∴(|OP|)_min=|OC|－r(r为半径).

由(x－3)²＋(y－4)²=4,知C(3，4)，r=2.

∴|OC|－r=－2=5－2=3，即(|OP|)_min=3.

∴(|AP|²＋|BP|²)_min=2×3²＋2=20.此时，OC：y=x.

由得或(舍).

∴点P的坐标为(，).

点评:解法一是利用了圆的参数方程的形式设出了点P的坐标，使所求的式子转化为三角函数式，利用三角函数法求最值；解法二设出的是P点的普通坐标(x，y)，使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值.