Question

已知平面上两点A（-1，0），B（0，0），P为该平面上一动点，若(

PA

-

2

PB

)•(

PA

+

2

PB

)=0．
（1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线方程．
（2）若C、D两点在点P的轨迹上，若

BC

+λ

BD

=(1+λ)

BA

，求的取值范围．

Answer 1

分析：（1）用坐标表示向量，利用向量的数量积运算，化简整理可得曲线及方程；
（2）利用

BC

+λ

BD

=(1+λ)

BA

，确定坐标之间的关系，再结合圆的方程门禁卡求得结论．

解答：解：（1）设P（x，y），∵A（-1，0），B（0，0），
∴

PA

=(-1-x，-y)，

PB

=(-1-x，-y)
由(

PA

-

2

PB

)•(

PA

+

2

PB

)=0得，

PA

2=2

PB

2，即（x+1）²+y²=2x²+2y²，
化简整理得（x-1）²+y²=2，
∴点P在以（1，0）为圆心，

2

为半径的圆上，方程为（x-1）²+y²=2．------------------------（4分）
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
∵

BC

+λ

BD

=(1+λ)

BA

，
∴

x1+λx2=-(1+λ) y1+λy2=0

，∴

x1=-λx2-(1+λ) y1=-λy2

①，
∵点C（x₁，y₁）在圆上，∴(x1-1)2+y12=2②，
将①代入②得，[λ(x2-1)+，
化简整理得（λ+1）（2λx₂+λ+1）=0，即λ=-1或2λx₂+λ+1=0．
由2λx₂+λ+1=0得x2=-

1+λ

2λ

，
又∵1-

2

≤x2≤1+

2

，∴1-

2

≤-

1+λ

2λ

≤1+

2

，
∴-2

2

-3≤λ≤2

2

-3．-----------------------（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．