Question

15．设圆x²+y²+2$\sqrt{3}$x-13=0的圆心为A，直线l过点B（$\sqrt{3}$，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点过B作AC的平行线交AD于点E
（Ⅰ）证明：|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程
（Ⅱ）设过点M（0，2）的直线t与点E的轨迹交于y轴右侧不同的两点P，Q，若O在以PQ为直径的圆上，求直线t的斜率k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可得得到|EB|=|ED|，于是|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故EA+EB=4是定值，
（II）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，消去y得：（1+4k²）x²+16kx+12=0．
 ${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
根据题意，得∠POQ=90°?$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$
$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}+2k×\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}+4$=$\frac{16-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}=0$，即可求得k即可．

解答 解：（I）证明：因为|AD|=|AC|，EB∥AC，所以∠EBD=∠ACD=∠ADC，
所以|EB|=|ED|，于是|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|．
又圆A的标准方程为${（x+\sqrt{3}）^2}+{y^2}=16$，从而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4．
由题设得$A（-\sqrt{3}，0），B（\sqrt{3}，0），|AB|=2\sqrt{3}$，
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1（y≠0）$．…（5分）
（II）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，消去y得：（1+4k²）x²+16kx+12=0．
∵与y轴右侧相交为P，Q两点∴$\left\{\begin{array}{l}△={（{16k}）^2}-4×12（{1+4{k^2}}）＞0\\ k＜0\end{array}\right.$，$k∈（-∞，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，…（8分）
根据题意，得∠POQ=90°?$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$
$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}+2k×\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}+4$=$\frac{16-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}=0$，
∴k=-2，符合$k∈（-∞，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，故k=-2．…（12分）

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，灵活运用韦达定理化简求值、平面向量的数量积运算是解题关键，属于中档题．