Question

【题目】如图，三棱锥中，点在以为直径的圆上，平面平面，点在线段上，且，，，，点为的重心，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

试题（1）连接，并延长交于点，连接，根据重心所具有的性质结合相似三角形可得，结合线面平行判定定理得结论；（2）根据圆的性质，由面面垂直性质定理可得平面，计算出三棱锥的体积，利用等体积法可求出点到平面的距离.

试题解析：（1）如图，连接，并延长交于点，连接.

因为为的重心，所以为的中点，且．

又，即，

所以，又因为平面，平面，

所以平面．

（2）因为点在以为直径的圆上，所以，

又因为平面平面，平面平面，所以平面.

在中，，，

如图，连接CQ，则，且，

所以的面积.

故三棱锥的体积.

因为平面，所以，

又因为，，所以平面，故.

在中，.

所以的面积.

设点到平面的距离为，即点到平面的距离为，

则三棱锥的体积.

显然，即，解得，即点到平面的距离为.