Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，证明不等式.

Answer 1

【答案】（1）当时函数在上单调递减; 当时函数在上单调递减，在上单调递增;（2）;（3）详见解析

【解析】

试题（1）先求导，讨论导数的正负，导数正得增区间，导数负得减区间．在解不等式的过程中注意讨论的符号．（2）由（1）知函数的极值点是,则．可将转化为,令,求导,讨论导数的符号,判断函数的单调性,从而求其最小值．则应小于等于函数的最小值．（3）因为,则，．则证明．构造函数,证此函数在上单调递增即可．即证在上即可．

试题解析：（1）解 ．

当时，，从而，

函数在上单调递减；

当时，若，则，从而，

若，则，从而，

函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）解 根据（1）函数的极值点是，若，则．

所以，即，

由于，即．

令，则，

可知为函数在内唯一的极小值点，也是最小值点，故，

所以的最小值是，

故只要即可，

故的取值范围是．

（3）证明不等式．

构造函数，

则，

可知函数在上，

即函数在上单调递增，由于，

所以，所以，

所以．