Question

1．一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的内接正方体的表面积为（　　）

• A． $\frac{19}{6}$
• B． $\frac{38}{3}$
• C． $\frac{57}{8}$
• D． $\frac{19}{3}$

Answer 1

分析 由已知中底面是正三角形的三棱柱的正视图，求出三棱柱的底面边长和高，从而求出它外接球的半径，再求球内接正方体的棱长，即可求出其表面积．

解答 解：由已知中的三棱柱正视图可得：
三棱柱的底面边长为2，高为1
则三棱柱的底面外接圆半径为
r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
球心到底面的距离为
d=$\frac{1}{2}$；
则球的半径为
R=$\sqrt{{r}^{2}{+d}^{2}}$=$\sqrt{\frac{19}{12}}$；
∴该球的内接正方体对角线长是
2R=2$\sqrt{\frac{19}{12}}$=$\sqrt{3}$a，
∴a=2$\sqrt{\frac{19}{36}}$=$\frac{\sqrt{19}}{3}$；
∴内接正方体的表面积为：
S=6a²=6×$\frac{19}{9}$=$\frac{38}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了球与三棱柱、正方体的关系与应用问题，根据条件确定三棱柱的底面边长和高，根据棱柱的底面外接圆半径，球心距，球半径求出球半径是解题关键．