Question

若不等式x³-mx²+x+m-2≤0在x∈（1，+∞）有解，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：运用参数分离可得，m≥

x3+x-2

x2-1

，令t=x+1（t＞2），则y=

(t-1)2+t+1

t

=t+

2

t

-1，运用导数判断右边的单调性，得到范围即可．

解答： 解：由于x＞1，则不等式x³-mx²+x+m-2≤0，
即为m≥

x3+x-2

x2-1

=

x2+x+2

x+1

，
令t=x+1（t＞2），则y=

(t-1)2+t+1

t

=t+

2

t

-1，y′=1-

2

t2

＞0，则y在t＞2递增，即有y＞2，
则不等式在x∈（1，+∞）有解等价为m＞2．
故答案为：（2，+∞）．

点评：本题考查不等式有解的问题转化为求函数的最值，考查运用导数判断单调性，考查运算能力，属于中档题．