题目内容
（1）设x，y为正数，求(x+y)(
+
)的最小值，并写出取得最小值的条件．
（2）设a＞b＞c，若
+
≥
恒成立，求n的最大值．
| 1 |
| x |
| 4 |
| y |
（2）设a＞b＞c，若
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| n |
| a-c |
考点：函数恒成立问题,函数的最值及其几何意义
专题：综合题,不等式的解法及应用
分析：（1）展开多项式乘多项式，然后利用基本不等式求最值，并得到使代数式取得最小值的条件；
（2）由已知得到a-b，a-c，b-c的符号，两边同时乘以a-c后变式，然后利用基本不等式求最值，从而得到n的最大值．
（2）由已知得到a-b，a-c，b-c的符号，两边同时乘以a-c后变式，然后利用基本不等式求最值，从而得到n的最大值．
解答：
解：（1）∵x＞0，y＞0
∴(x+y)(
+
)=1+
+
+4≥5+2
=9，
当且仅当
=
，即y=2x时取得最小值；
（2）∵a＞b＞c
∴a-b＞0，a-c＞0，b-c＞0，
∴
+
≥
可化为n≤(
+
)(a-c)
令t=(
+
)(a-c)
=(
+
)[(a-b)+(b-c)]
=1+
+
+1≥2+2=4．
当且仅当
=
，即2b=a+c时等号成立．
∴n≤4，
∴n的最大值是4．
∴(x+y)(
| 1 |
| x |
| 4 |
| y |
| y |
| x |
| 4x |
| y |
| 4 |
当且仅当
| y |
| x |
| 4x |
| y |
（2）∵a＞b＞c
∴a-b＞0，a-c＞0，b-c＞0，
∴
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| n |
| a-c |
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
令t=(
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
=(
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
=1+
| b-c |
| a-b |
| a-b |
| b-c |
当且仅当
| b-c |
| a-b |
| a-b |
| b-c |
∴n≤4，
∴n的最大值是4．
点评：本题考查函数恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值，解答（2）关键是对于代数式的变化，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知S={x|y=log2(8+2x-x2)}，T={x|
＞0}，则S∩T=（ ）
| 1 |
| x-3 |
| A、{x|x＞-2} |
| B、{x|x＞3} |
| C、{x|3＜x＜4} |
| D、{x|-2＜x＜3} |