Question

设f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=2ax+

1

x2

．
（1）求f（x）在区间（0，1]上的解析式．
（2）若f（x）在区间（0，1]上单调递增，求实数a的取值范围．
（3）若f（x）在x∈（0，1]时有最大值-6，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），易求f（-x），由函数奇偶性可得f（x）=-f（-x）；
（2）由f（x）在区间（0，1]上单调递增，得f′（x）≥0恒成立，分离参数后转化为求函数最值即可，利用函数单调性易求最值；
（3）由（2）易知a≥-1时f（x）_max=f（1）=-6；当a＜-1时利用导数可求得最大值，令其等于-6解出即可；

解答： 解：（1）当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），
则f（-x）=-2ax+

1

x2

．
又f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=2ax-

1

x2

．
故x∈（0，1]时，f（x）=2ax-

1

x2

．
（2）f′（x）=2a+

2

x3

，
∵f（x）在区间（0，1]上单调递增，
∴f′（x）≥0，即2a+

2

x3

≥0恒成立，亦即2a≥-

2

x3

恒成立，
又x∈（0，1]时，-

2

x3

≤-

2

13

=-2，
∴2a≥-2，即a≥-1；
（3）由（2）知a≥-1时，f（x）在（0，1]上递增，
f（x）_max=f（1）=2a-1=-6，解得a=-

5

2

，舍去；
当a＜-1时，f′（x）=2a+

2

x3

=

2a(x3+ 1 a )

x3

，
f（x）在（0，

3	- 1 a

）上递增，在（

3	- 1 a

，1）上递减，
∴f（x）_max=f（

3	- 1 a

）=-6，解得a=±2

2

，
∴a=-2

2

．

点评：该题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查利用导数求函数的最值，考查转化思想．