题目内容
【题目】已知方程
.
（1）设
，方程有三个不同实根，求
的取值范围；
（2）求证：
是方程有三个不同实根的必要不充分条件.
【答案】(1) 
;(2)见解析.
【解析】
试题(1)三次函数有三个零点，等价于零在极大值与极小值之间，因此本题实质先求函数极值，再解不等式， (2)证明不充分，只需举一个反例即可；证明必要性，可说明
时方程没有三个不同实根.
试题解析：设
.
（1）当
时，方程
有三个不同实根，
等价于函数
有三个不同零点，
，令
得
或
，
与
的区间
上情况如下：
所以，当
时且
时，存在
，
，
，
使得
.
由的单调性知，当且仅当
时，函数
有三个不同零点.
即方程有三个不同实根.
（2）当
时，
，
，
此时函数在区间上单调递增，
所以不可能有三个不同零点.
当
时，
只有一个零点，记作
，
当
时，
，在区间
上单调递增；
当
时，，在区间
上单调递增.
所以不可能有三个不同零点.
综上所述，若函数有三个不同零点，则必有
.
故
是有三个不同零点的必要条件.
当，
时，，
只有两个不同零点，
所以不是有三个不同零点的充分条件.
因此是有三个不同零点的必要而不充分条件.
即是方程
有三个不同实根的必要而不充分条件.
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