Question

【题目】已知函数．

（1）若函数在上有三个零点，求实数的取值范围；

（2）设函数（为自然对数的底数），证明：对任意的，都有恒成立．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

试题

(1)利用题意首先讨论函数的单调性，然后结合函数的极值可求得实数的取值范围为；

(2)原问题等价于成立，结合(1)中的结论讨论函数的最值即可证得结论.

试题解析：

解：（1），令，得，

当时，，当时，或，

所以在和上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得极小值，在处取得极大值，

因为在上有三个零点，所以有即，∴，

即实数的取值范围为；

（2）对任意的，都有恒成立，等价于当时，成立，由（1）知，在在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值，，令，得，

因为当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故的上的最小值，所以时，成立.