Question

6．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右顶点和上顶点分别为A和B，右焦点为F．若|AF|、|AB|、3|BF|成等比数列，则该椭圆的离心率为$\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 AF=a-c，$AB=\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，3BF=3a，AF•3BF=AB²，可得a²+b²=3a（a-c），c²-3ac+a²=0，即e²-3e+1=0，解出即可得出．

解答 解：∵AF=a-c，$AB=\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，3BF=3a，
∴由AF•3BF=AB²，a²+b²=3a（a-c），
∵b²=a²-c²，∴c²-3ac+a²=0，
则e²-3e+1=0，解得$e=\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}$或$e=\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$（舍去）．
故答案为：$\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．