Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）令b_n=（-1）ⁿa_n，求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得a_n=4a_n-1-3（n-1）+1，则a_n-n=4a_n-1-4n+4=4[a_n-1-（n-1）]，即可证
（Ⅱ）由（I）可得，an=n+4n-1，利用分组求和，结合等差与等比数列的求和公式即可求解
（Ⅲ）由b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿ[n+4^n-1]，利用分组求和，结合等比数列的求和公式可求

解答：（Ⅰ）证明：∵a₁=2，∴a₁-1=1
∵a_n+1=4a_n-3n+1，
∴a_n=4a_n-1-3（n-1）+1=4a_n-1-3n+4
∴a_n-n=4a_n-1-4n+4=4[a_n-1-（n-1）]
∴数列{a_n-n}是首项为1，公比为4的等比数列
（Ⅱ）解：由（I）可得，an-n=4n-1
∴an=n+4n-1
Sn=(1+2+…+n)+(1+4+…+4n-1)
∴Sn=

n(n+1)

2

+

4n-1

3

（Ⅲ）解：∵b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿ[n+4^n-1]
T2n=-(1+40)+（2+4）+…-（2n-1+4^2n-2）+（2n+4^2n-1）
=[-1+2-3+4+…-（2n-1）+2n]+（-1+4-4²+4³+…-4^2n-1+4²ⁿ）
=n+

1-(-4)2n

1-(-4)

×（-1）
∴T2n=n+

16n-1

5

点评：本题主要考查了利用构造法证明等比数列，及等比数列的通项公式、分组求和方法的应用是解答本题的关键．