Question

在数列{a_n}中，a，并且对任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为T_n，证明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a_n•a_n-1=a_n-1-a_n，得，由此推导出b_n-b_n-1=1，从而得到b_n=n+2．
（Ⅱ）由==（），利用错位相减法求出T_n=[-（+）]，由此能够证明．
解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵数列{a_n}中，a，并且对任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，b_n=（n∈N^*），
∴当n=1时，=3；
当n≥2时，由a_n•a_n-1=a_n-1-a_n，得，
∴b_n-b_n-1=1，
∴数列{b_n}是首项为3，公差为1的等差数列，
∴b_n=n+2．
（Ⅱ）∵==（），
∴T_n=（1-+-+-+…+-+-
=[-（+）]，
∴T_n是关于变量n的增函数，当n趋近无穷大时，的值趋近于0，
当n=1时，T_n取最小值，故有．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意迭代法和裂顶求和法的合理运用．