Question

【题目】已知圆M：及定点，点A是圆M上的动点，点B在上，点G在上，且满足，，点G的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点，与直线和分别交于P、Q两点.当时，求（O为坐标原点）面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据题意得到GB是线段的中垂线，从而为定值，根据椭圆定义可知点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，即可求出曲线C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，表示处的面积代入韦达定理化简即可求范围.

（1）为的中点，且是线段的中垂线，

，又，

∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，

设椭圆方程为（），

则，，，

所以曲线C的方程为.

（2）设直线l：（），

由消去y，可得.

因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，

所以，.①

又由可得；同理可得.

由原点O到直线的距离为和，

可得.②

将①代入②得，

当时，，

综上，面积的取值范围是.